Работать с куками в Alpine.js в общем-то можно как и с любым другим js-кодом. Вопрос здесь скорее в плоскости того, как мы используем куки и где это можно применить. Я покажу несколько примеров на Alpine.js, где используются куки. Это сообщение «Наш сайт использует куки бла-бла-бла...» и табы с памятью.
Перед началом определимся с функциями для работы с куками. Работать с ними через нативный js-код не очень удобно, поэтому мы воспользуемся уже готовыми функциями, например с learn.javascript.ru/cookie (прямой линк на их файл).
Для затравки рассмотрим простой пример, где можно задать, считать и удалить куку.